¿Qué son las fórmulas cinemáticas? (artículo)

¿Qué son las fórmulas cinemáticas?

Las fórmulas cinemáticas son un conjunto de fórmulas que relacionan las cinco variables cinemáticas listadas a continuación.

$\Delta x\quad\text{Desplazamiento}$ ΔxDesplazamientodelta, x, start text, D, e, s, p, l, a, z, a, m, i, e, n, t, o, end text
$t\qquad\text{Intervalo de tiempo}~$ tIntervalodetiempot, start text, I, n, t, e, r, v, a, l, o, space, d, e, space, t, i, e, m, p, o, end text, space
$v_0 ~~\quad\text{Velocidad inicial}~$ v0Velocidadinicialv, start subscript, 0, end subscript, space, space, start text, V, e, l, o, c, i, d, a, d, space, i, n, i, c, i, a, l, end text, space
$v\quad ~~~\text{Velocidad final}~$ vVelocidadfinalv, space, space, space, start text, V, e, l, o, c, i, d, a, d, space, f, i, n, a, l, end text, space
$a \quad~~ \text{ Aceleración constante}~$ aAceleracioˊnconstantea, space, space, start text, space, A, c, e, l, e, r, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, c, o, n, s, t, a, n, t, e, end text, space

[¿Por qué el intervalo de tiempo ahora está escrito como t?]

Si conocemos tres de estas cinco variables cinemáticas $(\Delta x, t, v_0, v, a)$ (Δx,t,v0,v,a)left parenthesis, delta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a, right parenthesis para un objeto bajo aceleración constante, podemos usar una fórmula cinemática (ver más abajo) para encontrar una de las variables desconocidas.

Las fórmulas cinemáticas suelen escribirse como las siguientes cuatro ecuaciones.

[¿De dónde salieron estas fórmulas?]

$\Large 1. \quad v=v_0+at$ 1.v=v0+at1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

$\Large 2. \quad {\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})t$ 2.Δx=(2v+v0)t2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

$\Large 3. \quad \Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ 3.Δx=v0t+21at23, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

$\Large 4. \quad v^2=v_0^2+2a\Delta x$ 4.v2=v02+2aΔx4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Como las fórmulas cinemáticas solo son ciertas si la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado, debemos ser cuidadosos de no usarlas cuando la aceleración esté cambiando. Además, las fórmulas cinemáticas suponen que todas las variables se refieren a la misma dirección: $x$ xx horizontal, $y$ yy vertical, etc.

[Espera, ¿qué?]

¿Qué es un objeto que vuela libremente, es decir, un proyectil?

Podría parecer que el hecho de que las fórmulas cinemáticas solo funcionen para intervalos de tiempo de aceleración constante limitaría seriamente la aplicabilidad de estas fórmulas. Sin embargo, una de las formas más comunes de movimiento (la caída libre), resulta ser a aceleración constante.

Todos los objetos que vuelan libremente (también llamados proyectiles) en la Tierra, sin importar su masa, tienen una aceleración constante dirigida hacia abajo debida a la gravedad de magnitud $g=9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ g=9.81s2mg, equals, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

$\Large g=9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}\quad \text{(Magnitud de la aceleración debida a la gravedad).}$ g=9.81s2m(Magnituddelaaceleracioˊndebidaalagravedad).g, equals, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, start text, left parenthesis, M, a, g, n, i, t, u, d, space, d, e, space, l, a, space, a, c, e, l, e, r, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, d, e, b, i, d, a, space, a, space, l, a, space, g, r, a, v, e, d, a, d, right parenthesis, point, end text

Se define un objeto que vuela libremente como cualquier objeto que esté acelerando debido solo a la influencia de la gravedad. Típicamente suponemos que el efecto de la resistencia del aire es tan pequeño que lo podemos ignorar, lo que significa que cualquier objeto que se suelta, se lanza o que de otra manera vuela libremente a través del aire, se considera como un proyectil que vuela libremente con una aceleración constante dirigida hacia abajo de magnitud $g=9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ g=9.81s2mg, equals, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Cuando pensamos en ello, es extraño y afortunado. Es extraño pues significa que una roca gigante se acelerará hacia abajo con la misma aceleración que una pequeña piedra, y si se dejaran caer de la misma altura, golpearían el suelo al mismo tiempo.

[¿Cómo puede ser?]

Es afortunado ya que no necesitamos conocer la masa del proyectil cuando resolvemos fórmulas cinemáticas, dado que el objeto que vuela libremente tendrá la misma magnitud de la aceleración, $g=9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ g=9.81s2mg, equals, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, sin importar qué masa tenga (siempre y cuando la resistencia del aire sea despreciable).

Observa que $g=9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ g=9.81s2mg, equals, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction solo es la magnitud de la aceleración debida a la gravedad. Si seleccionamos arriba como la dirección positiva, cuando hagamos las sustituciones en las fórmulas cinemáticas para un proyectil, debemos hacer que la aceleración de la gravedad sea negativa: $a_y=-9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ay=−9.81s2ma, start subscript, y, end subscript, equals, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

Advertencia: una de las fuentes de error más comunes es olvidar incluir un signo negativo cuando se usan las fórmulas cinemáticas.

¿Cómo seleccionas y usas una fórmula cinemática?

Escogemos la fórmula cinemática que incluya tanto la variable desconocida que queremos determinar y tres de las variables cinemáticas que ya conozcamos. De esta forma, podemos resolver para la incógnita que queremos encontrar, que será la única incógnita en la fórmula.

Por ejemplo, digamos que supiéramos que un libro que se encuentra en el suelo fue pateado hacia adelante con una velocidad inicial de $v_0=5\text{ m/s}$ v0=5m/sv, start subscript, 0, end subscript, equals, 5, start text, space, m, slash, s, end text, y que le tomó un intervalo de tiempo de $t=3\text{ s}$ t=3st, equals, 3, start text, space, s, end text deslizarse un desplazamiento de $\Delta x=8\text{ m}$ Δx=8mdelta, x, equals, 8, start text, space, m, end text. Podríamos usar la fórmula cinemática $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared para resolver algebraicamente para la aceleración desconocida $a$ aa del libro (suponiendo que la aceleración fuera constante) ya que conocemos todas las otras variables en esa fórmula $(\Delta x, v_0, t)$ (Δx,v0,t)left parenthesis, delta, x, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, t, right parenthesis además de $a$ aa.

Consejo para resolver el problema: observa que a cada fórmula cinemática le falta alguna de las cinco variables cinemáticas: $\Delta x, t, v_0, v, a$ Δx,t,v0,v,adelta, x, comma, t, comma, v, start subscript, 0, end subscript, comma, v, comma, a.

$1. \quad v=v_0+at \quad \text{(A esta fórmula le falta $\Delta x$).}$ 1.v=v0+at(AestafoˊrmulalefaltaΔx).1, point, v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, A, space, e, s, t, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, l, e, space, f, a, l, t, a, space, delta, x, right parenthesis, point, end text

$2. \quad {\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})t\quad \text{(A esta fórmula le falta $a$).}$ 2.Δx=(2v+v0)t(Aestafoˊrmulalefaltaa).2, point, delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, A, space, e, s, t, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, l, e, space, f, a, l, t, a, space, a, right parenthesis, point, end text

$3. \quad \Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2\quad \text{(A esta fórmula le falta $v$).}$ 3.Δx=v0t+21at2(Aestafoˊrmulalefaltav).3, point, delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, start text, left parenthesis, A, space, e, s, t, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, l, e, space, f, a, l, t, a, space, v, right parenthesis, point, end text

$4. \quad v^2=v_0^2+2a\Delta x\quad \text{(A esta fórmula le falta $t$).}$ 4.v2=v02+2aΔx(Aestafoˊrmulalefaltat).4, point, v, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x, start text, left parenthesis, A, space, e, s, t, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, l, e, space, f, a, l, t, a, space, t, right parenthesis, point, end text

Para escoger la fórmula cinemática que sea adecuada para tu problema, determina cuál variable no se te da y no se te pide encontrar. Por ejemplo, en el problema de arriba, la velocidad final $v$ vv del libro ni se nos dio ni se nos pidió, así que deberíamos escoger una fórmula que no incluya a $v$ vv. A la fórmula cinemática $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared le falta el término $v$ vv, por lo que en este caso es la elección correcta para resolver para la aceleración $a$ aa.

[¿No debería haber una quinta fórmula cinemática a la que le falte la velocidad inicial?]

¿Cómo derivas la primera fórmula cinemática, $v=v_0+at$ v=v0+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t ?

Esta fórmula cinemática es probablemente la más fácil de derivar, ya que en realidad es solo una versión reorganizada de la definición de la aceleración. Podemos empezar con la definición de la aceleración,

$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ a=ΔtΔva, equals, start fraction, delta, v, divided by, delta, t, end fraction $\quad$

[¿Esta no es la aceleración promedio?]

Ahora podemos reemplazar $\Delta v$ Δvdelta, v con la definición de cambio en la velocidad: $v-v_0$ v−v0v, minus, v, start subscript, 0, end subscript.

$a=\dfrac{v-v_0}{\Delta t}$ a=Δtv−v0a, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, delta, t, end fraction

Por último, si resolvemos para $v$ vv obtenemos

$v=v_0+a\Delta t$ v=v0+aΔtv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, delta, t

Y si estamos de acuerdo en usar $t$ tt en vez de $\Delta t$ Δtdelta, t, esta se vuelve la primera fórmula cinemática.

$\Large v=v_0+at$ v=v0+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

¿Cómo derivas la segunda fórmula cinemática, ${\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})t$ Δx=(2v+v0)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t?

Una manera genial de derivar esta fórmula cinemática de manera visual es al considerar la gráfica de velocidad para un objeto con aceleración constante (en otras palabras, una pendiente constante) que empieza con velocidad inicial $v_0$ v0v, start subscript, 0, end subscript, como se ve en la siguiente gráfica.

El área debajo de cualquier gráfica de velocidad da el desplazamiento $\Delta x$ Δxdelta, x. Entonces, el área debajo de esta gráfica de velocidad será el desplazamiento $\Delta x$ Δxdelta, x del objeto.

$\Delta x=\text{ área total}$ Δx=aˊreatotaldelta, x, equals, start text, space, a, with, \', on top, r, e, a, space, t, o, t, a, l, end text

De manera conveniente, podemos separar esta área en un rectángulo azul y un triángulo rojo, como se muestra en la gráfica de arriba.

La altura del rectángulo azul es $v_0$ v0v, start subscript, 0, end subscript y la base es $t$ tt, por lo que el área total del rectángulo azul es $v_0t$ v0tv, start subscript, 0, end subscript, t.
La base del triángulo rojo es $t$ tt y la altura es $v-v_0$ v−v0v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, entonces el área debajo del triángulo rojo es $\dfrac{1}{2}t(v-v_0)$ 21t(v−v0)start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis.

El área total será la suma de las áreas del rectángulo azul y el triángulo rojo.

$\Delta x=v_0t+\dfrac{1}{2}t(v-v_0)$ Δx=v0t+21t(v−v0)delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t, left parenthesis, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, right parenthesis

Si distribuimos el factor de $\dfrac{1}{2}t$ 21tstart fraction, 1, divided by, 2, end fraction, t obtenemos

$\Delta x=v_0t+\dfrac{1}{2}vt-\dfrac{1}{2}v_0t$ Δx=v0t+21vt−21v0tdelta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, minus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Podemos simplificar al combinar los términos de $v_0$ v0v, start subscript, 0, end subscript para obtener

$\Delta x=\dfrac{1}{2}vt+\dfrac{1}{2}v_0t$ Δx=21vt+21v0tdelta, x, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, v, start subscript, 0, end subscript, t

Y por último podemos volver a escribir el lado derecho para obtener la segunda fórmula cinemática

$\Large \Delta x=(\dfrac{v+v_0}{2})t$ Δx=(2v+v0)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Esta fórmula es interesante ya que si divides ambos lados entre $t$ tt, obtienes $\dfrac{\Delta x}{t}=(\dfrac{v+v_0}{2})$ tΔx=(2v+v0)start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis. Esto dice que la velocidad promedio $\dfrac{\Delta x}{t}$ tΔxstart fraction, delta, x, divided by, t, end fraction es igual al promedio de las velocidades final e inicial $\dfrac{v+v_0}{2}$ 2v+v0start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction. Sin embargo, esto solo es verdadero al suponer que la aceleración es constante, ya que derivamos esta fórmula a partir de una gráfica de velocidad con pendiente/aceleración constante.

¿Cómo derivas la tercera fórmula cinemática, $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared?

Hay dos maneras de derivar la ecuación $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared. Hay una derivación geométrica genial y una derivación menos emocionante que involucra sustituir y calcular. Primero vamos a hacer la derivación geométrica genial.

Considera un objeto que empieza con una velocidad $v_0$ v0v, start subscript, 0, end subscript y mantiene una aceleración constante hasta una velocidad final $v$ vv como se observa en la siguiente gráfica.

Ya que el área debajo de la gráfica de la velocidad da el desplazamiento $\Delta x$ Δxdelta, x, cada término en el lado derecho de la fórmula $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared representa un área en la gráfica de arriba.

El término $v_0t$ v0tv, start subscript, 0, end subscript, t representa el área del rectángulo azul, pues $A_{rectángulo}=bh$ Arectaˊngulo=bhA, start subscript, r, e, c, t, a, with, acute, on top, n, g, u, l, o, end subscript, equals, b, h.

El término $\dfrac{1}{2}at^2$ 21at2start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared representa el área del triángulo rojo, pues $A_{triángulo}=\dfrac{1}{2}bh$ Atriaˊngulo=21bhA, start subscript, t, r, i, a, with, acute, on top, n, g, u, l, o, end subscript, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, b, h.

[Espera, ¿cómo?]

Esto es todo. La fórmula $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared tiene que ser verdadera, ya que el desplazamiento debe estar dado por el área total bajo la curva. Hicimos la suposición de que la gráfica de velocidad era una linda recta diagonal, de modo que pudiéramos usar la fórmula del triángulo, así que esta fórmula cinemática, como el resto de las fórmulas cinemáticas, solo es verdadera bajo la suposición de que la aceleración es constante.

Aquí está la derivación alternativa al hacer una sustitución con cálculos. La tercera fórmula cinemática se puede derivar al sustituir la primera fórmula cinemática, $v=v_0+at$ v=v0+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, en la segunda fórmula cinemática, $\dfrac{\Delta x}{t}=\dfrac{v+v_0}{2}$ tΔx=2v+v0start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction.

Si empezamos con la segunda fórmula cinemática

$\dfrac{\Delta x}{t}=\dfrac{v+v_0}{2}$ tΔx=2v+v0start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

y usamos $v=v_0+at$ v=v0+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t para sustituir $v$ vv, obtenemos

$\dfrac{\Delta x}{t}=\dfrac{(v_0+at)+v_0}{2}$ tΔx=2(v0+at)+v0start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, left parenthesis, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, right parenthesis, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Podemos desarrollar el lado derecho y obtener

$\dfrac{\Delta x}{t}=\dfrac{v_0}{2}+\dfrac{at}{2}+\dfrac{v_0}{2}$ tΔx=2v0+2at+2v0start fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction, plus, start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction

Al combinar los términos $\dfrac{v_0}{2}$ 2v0start fraction, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction en el lado derecho nos da

$\dfrac{\Delta x}{t}=v_0+\dfrac{at}{2}$ tΔx=v0+2atstart fraction, delta, x, divided by, t, end fraction, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, start fraction, a, t, divided by, 2, end fraction

Y por último, al multiplicar ambos lados por el tiempo $t$ tt nos da la tercera fórmula cinemática.

$\Large \Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

De nuevo, usamos otras fórmulas cinemáticas, las cuales tienen un requerimiento de que la aceleración sea constante, así que esta tercera fórmula cinemática solo es verdadera bajo la suposición de que la aceleración es constante.

¿Cómo derivas la cuarta fórmula cinemática, $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ v2=v02+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x?

Para derivar la cuarta fórmula cinemática, vamos a empezar con la segunda fórmula cinemática:

${\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})t$ Δx=(2v+v0)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Queremos eliminar el tiempo $t$ tt de esta fórmula. Para hacerlo, vamos a despejar el tiempo de la primera fórmula cinemática, $v=v_0+at$ v=v0+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t para obtener $t=\dfrac{v-v_0}{a}$ t=av−v0t, equals, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction. Si sustituimos esta expresión para el tiempo $t$ tt en la segunda fórmula cinemática obtendremos

${\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})(\dfrac{v-v_0}{a})$ Δx=(2v+v0)(av−v0)delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, start fraction, v, minus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, a, end fraction, right parenthesis

Multiplicar las fracciones en el lado derecho nos da

${\Delta x}=(\dfrac{v^2-v_0^2}{2a})$ Δx=(2av2−v02)delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, squared, minus, v, start subscript, 0, end subscript, squared, divided by, 2, a, end fraction, right parenthesis

Y ahora, al despejar $v^2$ v2v, squared, obtenemos la cuarta fórmula cinemática.

$\Large v^2=v_0^2+2a\Delta x$ v2=v02+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

¿Qué es confuso acerca de las fórmulas cinemáticas?

La gente suele olvidar que las fórmulas cinemáticas solo son verdaderas al suponer que la aceleración es constante durante el intervalo de tiempo considerado.

Algunas veces, una variable conocida no se proporciona de forma explícita en un problema dado, sino más bien se da de forma implícita en palabras clave. Por ejemplo, "empieza en reposo" significa $v_0=0$ v0=0v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, "se deja caer" a menudo significa $v_0=0$ v0=0v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0, y "se detiene" significa $v=0$ v=0v, equals, 0. También, la magnitud de la aceleración debida a la gravedad en todos los proyectiles que vuelan libremente se supone que es $g=9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ g=9.81s2mg, equals, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, de modo que esta aceleración usualmente no se da de forma explícita en un problema, sino que se entiende que este es su valor para un objeto que vuela libremente.

La gente olvida que todas las variables cinemáticas $(\Delta x, v_o, v, a)$ (Δx,vo,v,a)left parenthesis, delta, x, comma, v, start subscript, o, end subscript, comma, v, comma, a, right parenthesis, excepto el tiempo $t$ tt, pueden ser negativas. Un signo negativo faltante es una fuente de error muy común. Si la dirección hacia arriba se toma como positiva, entonces la aceleración debida a la gravedad de un objeto que vuela libremente debe ser negativa: $a_g=-9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2}$ ag=−9.81s2ma, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction.

La tercera fórmula cinemática, $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared, podría requerir el uso de la fórmula cuadrática (revisa el ejemplo resuelto no. 3 a continuación).

La gente olvida que aún cuando puedes escoger cualquier intervalo de tiempo durante la aceleración constante, las variables cinemáticas que sustituyes en una fórmula cinemática deben ser consistentes con ese intervalo de tiempo. En otras palabras, la velocidad inicial $v_0$ v0v, start subscript, 0, end subscript tiene que ser la velocidad del objeto en la posición inicial al comienzo del intervalo de tiempo $t$ tt. Del mismo modo, la velocidad final $v$ vv debe ser la velocidad en la posición final al final del intervalo de tiempo $t$ tt que está siendo analizado.

¿Cómo se ven algunos ejemplos resueltos que involucran a las fórmulas cinemáticas?

Ejemplo 1: la primera fórmula cinemática, $v=v_0+at$ v=v0+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t

Un globo lleno de agua de sabor se deja caer desde la azotea de un edificio muy alto.

¿Cuál es la velocidad del globo con agua después de caer durante $t=2.35 \text{ s}$ t=2.35st, equals, 2, point, 35, start text, space, s, end text?

Al suponer que la dirección hacia arriba es la positiva, nuestras variables conocidas son

$v_0=0 \quad$ v0=0v, start subscript, 0, end subscript, equals, 0 (Como el globo con agua se deja caer, empieza en reposo).
$t=2.35\text{ s} \quad$ t=2.35st, equals, 2, point, 35, start text, space, s, end text (Este es el intervalo de tiempo después del cual queremos encontrar la velocidad).
$a_g=-9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2} \quad$ ag=−9.81s2ma, start subscript, g, end subscript, equals, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction(Esta está implícita, ya que el globo con agua es un objeto en caída libre).

[¿Qué no la velocidad final es cero, pues el globo golpea el suelo?]

El movimiento es vertical en esta situación, así que vamos a usar $y$ yy como nuestra variable de posición en lugar de $x$ xx. El símbolo que escojamos no tiene mucha importancia siempre y cuando seamos consistentes, pero la gente típicamente usa $y$ yy para indicar movimiento vertical.

Como no conocemos el desplazamiento $\Delta y$ Δydelta, y y no se nos preguntó por el desplazamiento $\Delta y$ Δydelta, y, vamos a usar la primera fórmula cinemática $v=v_{0}+at$ v=v0+atv, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, a la cual le falta $\Delta y$ Δydelta, y.

$v=v_{0}+at \quad \text{(Usa la primera fórmula cinemática, ya que le falta $\Delta y$).}$ v=v0+at(Usalaprimerafoˊrmulacinemaˊtica,yaquelefaltaΔy).v, equals, v, start subscript, 0, end subscript, plus, a, t, start text, left parenthesis, U, s, a, space, l, a, space, p, r, i, m, e, r, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, c, i, n, e, m, a, with, \', on top, t, i, c, a, comma, space, y, a, space, q, u, e, space, l, e, space, f, a, l, t, a, space, delta, y, right parenthesis, point, end text

$v=0\text{ m/s} +(-9.81\dfrac{\text{m}}{\text{s}^2})(2.35\text{ s}) \quad \text{(Sustituye los valores conocidos).}$ v=0m/s+(−9.81s2m)(2.35s)(Sustituyelosvaloresconocidos).v, equals, 0, start text, space, m, slash, s, end text, plus, left parenthesis, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, m, end text, divided by, start text, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 2, point, 35, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, c, o, n, o, c, i, d, o, s, right parenthesis, point, end text

$v=-23.1 \text { m/s}\quad \text{(¡Calcula y celebra!)}$ v=−23.1m/s(¡Calculaycelebra!)v, equals, minus, 23, point, 1, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, ¡, C, a, l, c, u, l, a, space, y, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, end text

Nota: la velocidad final fue negativa ya que el globo con agua estaba yendo hacia abajo.

[¿No podemos llamar hacia abajo la dirección positiva?]

Ejemplo 2: la segunda fórmula cinemática, ${\Delta x}=(\dfrac{v+v_0}{2})t$ Δx=(2v+v0)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t

Un leopardo está corriendo con una rapidez de 6.20 m/s y, después de ver un espejismo que tiene forma de un camión de helados, aumenta su rapidez a 23.1 m/s en un tiempo de 3.3 s.

¿Cuánta distancia cubrió el leopardo al ir de 6.20 m/s a 23.1 m/s?

Al suponer que la dirección inicial del recorrido es la dirección positiva, nuestras variables conocidas son

$v_0= 6.20\text{ m/s} \quad$ v0=6.20m/sv, start subscript, 0, end subscript, equals, 6, point, 20, start text, space, m, slash, s, end text (La rapidez inicial del leopardo).
$v= 23.1\text{ m/s} \quad$ v=23.1m/sv, equals, 23, point, 1, start text, space, m, slash, s, end text (La rapidez final del leopardo).
$t=3.30\text{ s} \quad$ t=3.30st, equals, 3, point, 30, start text, space, s, end text (El tiempo que le tomó aumentar su rapidez).

Como no conocemos la aceleración $a$ aa y no se nos pidió la aceleración, vamos a usar la segunda fórmula cinemática para la dirección horizontal ${\Delta x}=(\dfrac{v+v_{0}}{2})t$ Δx=(2v+v0)tdelta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, a la cual le falta $a$ aa.

${\Delta x}=(\dfrac{v+v_{0}}{2})t \quad \text{(Usa la segunda fórmula cinemática, ya que le falta $a$).}$ Δx=(2v+v0)t(Usalasegundafoˊrmulacinemaˊtica,yaquelefaltaa).delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, v, plus, v, start subscript, 0, end subscript, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, t, start text, left parenthesis, U, s, a, space, l, a, space, s, e, g, u, n, d, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, c, i, n, e, m, a, with, \', on top, t, i, c, a, comma, space, y, a, space, q, u, e, space, l, e, space, f, a, l, t, a, space, a, right parenthesis, point, end text

${\Delta x}=(\dfrac{23.1\text{ m/s}+6.20\text{ m/s}}{2})(3.30\text{ s} ) \quad \text{(Sustituye los valores conocidos).}$ Δx=(223.1m/s+6.20m/s)(3.30s)(Sustituyelosvaloresconocidos).delta, x, equals, left parenthesis, start fraction, 23, point, 1, start text, space, m, slash, s, end text, plus, 6, point, 20, start text, space, m, slash, s, end text, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 3, point, 30, start text, space, s, end text, right parenthesis, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, c, o, n, o, c, i, d, o, s, right parenthesis, point, end text

$\Delta x=48.3 \text{ m} \quad \text{(¡Calcula y celebra!)}$ Δx=48.3m(¡Calculaycelebra!)delta, x, equals, 48, point, 3, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, ¡, C, a, l, c, u, l, a, space, y, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, end text

Ejemplo 3: la tercera fórmula cinemática, $\Delta x=v_0 t+\dfrac{1}{2}at^2$ Δx=v0t+21at2delta, x, equals, v, start subscript, 0, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, t, squared

Una estudiante está harta de hacer su tarea de fórmulas cinemáticas, así que lanza su lápiz hacia arriba y de forma recta a $18.3\text{ m/s}$ 18.3m/s18, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text.

¿Cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un punto 12.2 m más alto de donde fue lanzado?

Al suponer que la dirección hacia arriba es la positiva, nuestras variables conocidas son

$v_0=18.3 \text { m/s} \quad$ v0=18.3m/sv, start subscript, 0, end subscript, equals, 18, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text (La velocidad inicial hacia arriba del lápiz).
$\Delta y=12.2\text{ m} \quad$ Δy=12.2mdelta, y, equals, 12, point, 2, start text, space, m, end text (Queremos conocer el tiempo que le toma al lápiz recorrer este desplazamiento).
$a=-9.81\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2} \quad$ a=−9.81s2ma, equals, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (El lápiz es un proyectil que vuela libremente).

Como no conocemos la velocidad final $v$ vv y no se nos pidió encontrar la velocidad final, vamos a usar la tercera fórmula cinemática para la dirección vertical $\Delta y=v_{0y} t+\dfrac{1}{2}a_yt^2$ Δy=v0yt+21ayt2delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, a la cual le falta $v$ vv.

$\Delta y=v_{0y} t+\dfrac{1}{2}a_yt^2 \quad \text{(Empieza con la tercera fórmula cinemática).}$ Δy=v0yt+21ayt2(Empiezaconlatercerafoˊrmulacinemaˊtica).delta, y, equals, v, start subscript, 0, y, end subscript, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, a, start subscript, y, end subscript, t, squared, start text, left parenthesis, E, m, p, i, e, z, a, space, c, o, n, space, l, a, space, t, e, r, c, e, r, a, space, f, o, with, \', on top, r, m, u, l, a, space, c, i, n, e, m, a, with, \', on top, t, i, c, a, right parenthesis, point, end text

Normalmente solo resolveríamos nuestra expresión de manera algebraica para la variable que queremos encontrar. Pero esta fórmula cinemática no se puede resolver de forma algebraica para el tiempo si ninguno de los términos es cero, porque si ninguno de los términos es cero y $t$ tt es la variable desconocida, esta ecuación se vuelve una ecuación de segundo grado. Podemos verlo al sustituir los valores conocidos.

$12.2\text{ m}=(18.3\text{ m/s})t+\dfrac{1}{2}(-9.81\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2})t^2 \quad \text{(Sustituye los valores conocidos).}$ 12.2m=(18.3m/s)t+21(−9.81s2m)t2(Sustituyelosvaloresconocidos).12, point, 2, start text, space, m, end text, equals, left parenthesis, 18, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, c, o, n, o, c, i, d, o, s, right parenthesis, point, end text

Para escribir esto como una ecuación de segundo grado más fácil de resolver, movemos todos los términos a un solo lado de la ecuación. Al restarle 12.2 m de ambos lados obtenemos

$0=\dfrac{1}{2}(-9.81\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2})t^2+(18.3\text{ m/s})t -12.2\text{ m} \quad \text{(Ponla en la forma de la ecuación de segundo grado).}$ 0=21(−9.81s2m)t2+(18.3m/s)t−12.2m(Ponlaenlaformadelaecuacioˊndesegundogrado).0, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, t, squared, plus, left parenthesis, 18, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, t, minus, 12, point, 2, start text, space, m, end text, start text, left parenthesis, P, o, n, l, a, space, e, n, space, l, a, space, f, o, r, m, a, space, d, e, space, l, a, space, e, c, u, a, c, i, o, with, \', on top, n, space, d, e, space, s, e, g, u, n, d, o, space, g, r, a, d, o, right parenthesis, point, end text

En este momento, resolvemos la ecuación de segundo grado para el tiempo $t$ tt. Las soluciones de una ecuación de segundo grado de la forma $at^2+bt+c=0$ at2+bt+c=0a, t, squared, plus, b, t, plus, c, equals, 0 se encuentran al usar la fórmula cuadrática $t=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ t=2a−b±b2−4act, equals, start fraction, minus, b, plus minus, square root of, b, squared, minus, 4, a, c, end square root, divided by, 2, a, end fraction. Para nuestra ecuación cinemática, $a=\dfrac{1}{2}(-9.81\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2})$ a=21(−9.81s2m)a, equals, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, $b=18.3\text{ m/s}$ b=18.3m/sb, equals, 18, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text y $c=-12.2\text{ m}$ c=−12.2mc, equals, minus, 12, point, 2, start text, space, m, end text.

Entonces, al sustituir en la fórmula cuadrática, obtenemos

$t=\dfrac{-18.3\text{ m/s}\pm\sqrt{(18.3\text{ m/s})^2-4[\dfrac{1}{2}(-9.81\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2})(-12.2\text{ m})]}}{2[\dfrac{1}{2}(-9.81\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2})]}$ t=2[21(−9.81s2m)]−18.3m/s±(18.3m/s)2−4[21(−9.81s2m)(−12.2m)]t, equals, start fraction, minus, 18, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, plus minus, square root of, left parenthesis, 18, point, 3, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, minus, 4, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, minus, 12, point, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, close bracket, end square root, divided by, 2, open bracket, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, left parenthesis, minus, 9, point, 81, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, close bracket, end fraction

Como hay un signo de más/menos en la fórmula cuadrática, obtenemos dos respuestas para el tiempo $t$ tt: una cuando usas el signo $+$ +plus y otra cuando usas el signo $-$ −minus. Resolver la fórmula cuadrática de arriba da estos dos tiempos:

$t=0.869\text{ s}$ t=0.869st, equals, 0, point, 869, start text, space, s, end text y $t=2.86\text{ s}$ t=2.86st, equals, 2, point, 86, start text, space, s, end text

Hay dos soluciones positivas ya que hay dos tiempos para los cuales el lápiz está a una altura de 12.2 m. El tiempo menor se refiere al tiempo requerido para ir hacia arriba y alcanzar por primera vez el desplazamiento de 12.2 m de altura. El tiempo mayor se refiere al tiempo requerido para moverse hacia arriba, pasar por los 12.2 m de altura, alcanzar la altura máxima y después caer de regreso a un punto que está a 12.2 m de altura.

Entonces, para encontrar la respuesta a nuestra pregunta de "¿cuánto tiempo le toma al lápiz alcanzar por primera vez un punto 12.2 m más alto de donde fue lanzado?" escogeríamos el tiempo menor $t=0.869\text{ s}$ t=0.869st, equals, 0, point, 869, start text, space, s, end text.

[¿Qué pasa si la fórmula cuadrática da una respuesta negativa?]

Ejemplo 4: la cuarta fórmula cinemática, $v^2=v_0^2+2a\Delta x$ v2=v02+2aΔxv, squared, equals, v, start subscript, 0, end subscript, squared, plus, 2, a, delta, x

Un motociclista europeo comienza con una rapidez de 23.4 m/s y, al ver tráfico adelante, decide frenar en una longitud de 50.2 m con una desaceleración constante de magnitud $3.20\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2}$ 3.20s2m3, point, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction. Supón que la motocicleta se está moviendo hacia adelante durante todo el recorrido.

¿Cuál es la nueva velocidad de l motociclista después de frenar en los 50.2 m?

Al suponer que la dirección inicial del recorrido es la dirección positiva, nuestras variables conocidas son

$v_0=23.4 \text { m/s} \quad$ v0=23.4m/sv, start subscript, 0, end subscript, equals, 23, point, 4, start text, space, m, slash, s, end text (La velocidad inicial de la motocicleta).
$a=-3.20\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2} \quad$ a=−3.20s2ma, equals, minus, 3, point, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction (La aceleración es negativa ya que la motocicleta está frenando y suponemos que la dirección hacia adelante es la positiva).
$\Delta x=50.2\text{ m} \quad$ Δx=50.2mdelta, x, equals, 50, point, 2, start text, space, m, end text (Queremos conocer la velocidad después de que la motocicleta se mueva a través de este desplazamiento).

Como no conocemos el tiempo $t$ tt y no se nos pidió encontrarlo, vamos a usar la cuarta fórmula cinemática para la dirección horizontal $v_x^2=v_{0x}^2+2a_x\Delta x$ vx2=v0x2+2axΔxv, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, a la cual le falta $t$ tt.

$v_x^2=v_{0x}^2+2a_x\Delta x \quad \text{(Empieza con la cuarta formula cinemática).}$ vx2=v0x2+2axΔx(Empiezaconlacuartaformulacinemaˊtica).v, start subscript, x, end subscript, squared, equals, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, start text, left parenthesis, E, m, p, i, e, z, a, space, c, o, n, space, l, a, space, c, u, a, r, t, a, space, f, o, r, m, u, l, a, space, c, i, n, e, m, a, with, \', on top, t, i, c, a, right parenthesis, point, end text

$v_x=\pm\sqrt{v_{0x}^2+2a_x\Delta x} \quad \text{(Resuelve de manera algebraica para la velocidad final).}$ vx=±v0x2+2axΔx(Resuelvedemaneraalgebraicaparalavelocidadfinal).v, start subscript, x, end subscript, equals, plus minus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root, start text, left parenthesis, R, e, s, u, e, l, v, e, space, d, e, space, m, a, n, e, r, a, space, a, l, g, e, b, r, a, i, c, a, space, p, a, r, a, space, l, a, space, v, e, l, o, c, i, d, a, d, space, f, i, n, a, l, right parenthesis, point, end text

Observa que al sacar una raíz cuadrada, obtienes dos posibles respuestas: positiva o negativa. Como nuestro motociclista seguirá yendo en la dirección de movimiento con la que empezó y supusimos que esa dirección era positiva, vamos a escoger la respuesta positiva $v_x=+\sqrt{v_{0x}^2+2a_x\Delta x}$ vx=+v0x2+2axΔxv, start subscript, x, end subscript, equals, plus, square root of, v, start subscript, 0, x, end subscript, squared, plus, 2, a, start subscript, x, end subscript, delta, x, end square root.

Ahora podemos sustituir los valores para obtener

$v_x=\sqrt{(23.4\text{ m/s})^2+2(-3.20\dfrac{\text{ m}}{\text{ s}^2})(50.2\text{ m})} \quad \text{(Sustituye los valores conocidos).}$ vx=(23.4m/s)2+2(−3.20s2m)(50.2m)(Sustituyelosvaloresconocidos).v, start subscript, x, end subscript, equals, square root of, left parenthesis, 23, point, 4, start text, space, m, slash, s, end text, right parenthesis, squared, plus, 2, left parenthesis, minus, 3, point, 20, start fraction, start text, space, m, end text, divided by, start text, space, s, end text, squared, end fraction, right parenthesis, left parenthesis, 50, point, 2, start text, space, m, end text, right parenthesis, end square root, start text, left parenthesis, S, u, s, t, i, t, u, y, e, space, l, o, s, space, v, a, l, o, r, e, s, space, c, o, n, o, c, i, d, o, s, right parenthesis, point, end text

$v_x=15.0\text{ m/s} \quad \text{(¡Calcula y celebra!)}$ vx=15.0m/s(¡Calculaycelebra!)v, start subscript, x, end subscript, equals, 15, point, 0, start text, space, m, slash, s, end text, start text, left parenthesis, ¡, C, a, l, c, u, l, a, space, y, space, c, e, l, e, b, r, a, !, right parenthesis, end text

¿Qué son las fórmulas cinemáticas? (artículo) | Khan Academy (2023)